Linear Algebra

Aljabar linear merupakan salah satu cabang Matematika yang mempelajari tentang matriks, vector, ruang vector, transformasi linear dan system persamaan linear. Aljabar linear mempunyai penerapan pada berbagai bidang ilmu alam dan ilmu social serta teknologi informasi dan komunikasi (infokom) yang saat ini sedang berkembang pesat. Pembahasan mengenai matriks ditekankan kepada perhitungan inverse, determinan, dan penerapannya pada berbagai permasalahan riil. Sedangkan pembahasan mengenai vector diarahkan untuk mempelajari ruang vector baik ruang vector umum maupun ruang vector khusus. Dalam bab ini digunakan sebuah software interaktif yang bernama MATLAB (MATrix LABoratoty) untuk proses numeric yang berorientasi pada manipulasi vector dan matrik. Software ini digunakan di semua bidang matematika terapan, engineering dan di dalam industry.

Untuk mendownload APLIKASI MATLAB, klik disini.

Untuk mendownload TUTORIAL MATLAB, klik disini.

Pembagian system persamaan linier (SPL):

                                                                                      

1.       Eliminasi Gauss dengan Substitusi Balik

Salah satu metode penyelesaian system persamaan linear adalah dengan eliminasi Gauss. Prinsip dasar dari eleminasi Gauss adalah dengan menyajikan persamaan persamaan linear ke dalam bentuk matriks yang diperbesar, kemudian dilakukan serangkaian operasi sehingga ditemukan nilai sebuah variable, kemudian dari variable tersebut bisa digunakan untuk menemukan variable yang lainnya.

Contoh:

SPL:

2x+8y+6z=20

4x+2y-2z=-2

3x-2y+z=12                                                ………………………(1)

Bentuk matriks diperbesar:

 Langkah pertama adalah membuat elemen baris 1 kolom 1 bernilai 1 dengan mengalikan baris pertama dengan ½ . Matriks akan menjadi:

Langkah kedua adalah kalikan -4 dengan persamaan/baris pertama dan ditambahkan ke persamaan/baris kedua agar baris 2 kolom 1 bernilai 0. Matriks akan menjadi:

Langkah ketiga adalah kalikan -3 dengan persamaan /baris pertama dan tambahkan ke persamaan/baris ketiga agar baris 3 kolom 1 bernilai 0. Matriks akan menjadi:

Langkah keempat sama seperti langkah pertama, yaitu membuat baris 2 kolom 2 bernilai 1 dengan mengalikan persamaan/baris kedua dengan -1/14. Matriks akan menjadi:

Langkah kelima sama seperti langkah kedua, kalikan 14 dengan persamaan/baris kedua dan tambahkan ke persamaan/baris ketiga agar baris 3 kolom 2 bernilai 0. Matriks akan menjadi:

Langkah terakhir dari eleminasi Gauss adalah membuat koefisien dari z pada persamaan/baris ketiga menjadi 1 dengan membagi 6. Matriks akan menjadi:

Jadi, nilai z=4,  maka nilai x dan y dapat dicari dengan substitusi z ke persamaan/baris pertama dan kedua. x=2, y=-1.

2.       Eliminasi Gauss Jordan

Perbedaan eliminasi Gauss  Jordan dengan eliminasi Gauss adalah ada tidaknya substitusi balik. Prinsip dari eliminasi Gauss Jordan adalah membentuk baris eselon tereduksi.

Sebagai contoh, pada SPL (1), setelah langkah keempat, langkah selanjutnya adalah kalikan persamaan/baris kedua dengan-4 dan tambahkan ke persamaan/baris pertama, kalikan baris kedua dengan 14 dan tambahkan ke persamaan/baris ketiga, agar baris1 kolom 2 dan baris 3 kolom 2 bernilai 0. Matriks akan menjadi:

Langkah selanjutnya adalah membuat baris 3 kolom 3 bernilai 1 dengan membagi persamaan/baris ketiga dengan 6. Matriks akan menjadi:

 Langkah selanjutnya adalah tambahkan persamaan/baris ketiga ke persamaan/baris pertama dan kalikan persamaan/baris ketiga dengan -1 dan tambahkan ke persamaan kedua agar baris 1 kolom 3 dan baris 2 kolom 3 bernilai 0. Akhirnya matriks menjadi:

Dari matriks tersebut didapatkan nilai x=2, y=-1, z=4.

Untuk operasi eliminasi Gauss Jordan, di dalam MATLAB terdapat fungsi RREF untuk mencari solusi SPL secara cepat.

>>A = rref (A)

A =   

3.       SPL Tidak Konsisten

SPL tidak konsisten adalah SPL yang memiliki himpunan bilangan real yang memenuhi beberapa persamaan tetapi tidak memenuhi persamaan lain. Contohnya adalah SPL berikut:

x+4y+3z=10

2x+y-y=-1

3x-2y-4z=11

Bentuk matriks:

Setelah dihitung dengan fungsi RREF matlab:

>>A = rref (A)

 

Dari matriks tersebut terlihat bahwa tidak ada pasangan bilangan real yang memenuhi persamaan ketiga karena 0=1, tetapi ada pasangan bilangan bilangan real yang memenuhi persamaan pertama dan kedua. SPL tidak konsisten tidak memiliki penyelesaian.

4.       SPL Solusi Tak Terhingga

SPL ada yang memiliki solusi tak terhingga bahkan solusi tak terhingga. Contohnya:

2x-4y+8z=12

3x-6y+12z=18

5x-10y+20z=30

Bentuk matriks:

Setelah dihitung dengan fungsi RREF matlab:

>>A = rref (A)

Bila diambil variable babas y=t dan z=s, maka variable tak bebasnya x=6+2t-4s. Jadi, pasangan bilangan real yang memenuhi SPL ini adalah pasangan 3 bilangan (6+2t-4s, t, s), dengan t dan s adalah variable bebas.

5.      Untuk materi lanjut tentang aljabar linear rangkuman saya, DOWNLOAD DISINI.

Referensi: Mursita, Danang.2010. Aljabar Linear. Bandung: Rekayasa Sains.

UPDATE:
PPT presentasi bab 1 -> Download
PPT presentasi bab 3 -> Download